Боєць був родом із Рівного.
Кривцов був учасником Революції гідності у 2013-2014 роках, а до лав Збройних сил він доєднався добровольцем у 2014 році.
Згодом він працював у Центрі реабілітації та реадаптації учасників АТО та ООС і Veteran Hub. Після повномасштабного вторгнення росіян у 2022 році повернувся на фронт, розповідали про нього у видавництві «Наш Формат», де він видав свою книжку «Вірші з бійниці».
Цю збірку визнали однією з найкращих книжок української поезії у 2023 році, за версію українського ПЕН.
Також його вірші входили до збірок поезії «Книга Love 2.0. Любов і війна» і «Поміж сирен. Нові вірші війни», які видали у 2023 році.
Цей вірш на сторінці у Фейсбук Максим Кривцов опублікував два дні тому:
Моя голова котиться від посадки до посадки
як перекотиполе
чи мʼяч
мої руки відірвані
проростуть фіалками навесні
мої ноги
розтягнуть собаки та коти
моя кров
вифарбує світ у новий червоний
Pantone людська кров
мої кістки
втягнуться в землю
утворять каркас
мій прострелений автомат
заржавіє
бідненький
мої зміні речі та екіпу
передадуть новобранцям
та скоріше б уже весна
щоб нарешті
розквітнути
фіалкою.
Вічна пам’ять та слава Герою!
